協方差是統計學中使用的一種數值，用於描述兩個變量間的線性關係。兩個變量的協方差越大，它們在一系列數據點範圍內的取值所呈現出的趨勢就越相近（換句話說，兩個變量的曲線距離彼此較近）。一般來說，兩組數值x和y的協方差可以用這個公式計算：1/(n -1)Σ(x- x)(y- y)。其中n爲樣本量，x是每個x點的取值，x爲x的平均值，y和y也類似。
使用標準方差公式
（01）把你的數據整理成一系列(x,y)取值點。你只需要兩個變量x和y的一系列取值就可以計算出方差。如果你使用的是一個圖上的數據點，你的數據應該來自圖上的一系列(x,y)交點。或者，則需要通過數學方法找出兩個變量的一一對應值。記下相對應的x/y數據對的數量。這就是“n”，即樣本大小，計算方差時需要用到。舉個例子，假設我們開了一家熟食店，需要確定所發出的優惠券是否會對銷量產生影響。我們可以將x定義爲“在優惠日發放出去的優惠券數量”，將y定義爲“當日銷量”。爲了方便起見，我們使用上圖中的表格作爲參考，即，第一天我們發放出x=1優惠券，賣出y=8，第二天發放x=3優惠券，賣出y=6，等等。
（02）計算x的平均值。在得到一系列x/y取值之後，剩下的工作就不多了。首先計算x的平均值，將所有的x值相加再除以樣本量（進一步參考我們關於計算平均值的文章）。在我們的例子中，我們需要將上表中“x”欄中的數值相加，再除以數值的個數。計算1+3+2+5…，最終得到44。再除以9，得到44/9 =4.89就是x的平均值。見下：1 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 + 12 + 2 + 4 = 4444/9 =4.89
（03）計算y的平均值。下一步是計算y的平均值，和計算x的平均值方法一樣：把y的值相加，除以樣本量。在我們的例子中，應該計算8+6+9+4...得到49。除以樣本量，得到49/9 =5.44即爲y的平均值。見下：8 + 6 + 9 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7 + 7 = 4949/9 =5.44
（04）將計算出的值代入公式中：1/(n-1)Σ(x- x)(y- y)。注意公式中的sigma（Σ）符號，意思是每個x值都要減去平均值，再加起來（y也一樣）。計算量比較大，所以需要非常仔細，避免出錯。在我們的例子中，需要如下計算：1/(n -1)Σ(x- x)(y- y)(1/8)(((1 - 4.89)+(3 - 4.89)+(2 - 4.89)+(5 - 4.89)+(8 - 4.89)+(7 - 4.89)+(12 - 4.89)+(2 - 4.89)+(4 - 4.89))((8 - 5.44)+(6 - 5.44)+(9 - 5.44)+(4 - 5.44)+(3 - 5.44)+(3 - 5.44)+(2 - 5.44)+(7 - 5.44)+(7 - 5.44))(1/8)((-0.01)((8 - 5.44)+(6 - 5.44)+(9 - 5.44)+(4 - 5.44)+(3 - 5.44)+(3 - 5.44)+(2 - 5.44)+(7 - 5.44)+(7 - 5.44))(1/8)(-0.01)(0.04) =0.00005下文會提到，我們的答案0.00005非常接近0，意味着發放出的優惠券數量對熟食店的銷量在實質上沒有影響。
使用協方差值
（01）協方差值等於1意味着完全正相關。協方差值永遠介於1和-1之間。在這個範圍外的值說明計算出錯了。根據協方差值接近1或-1的程度得出結論。例如，如果協方差值正好等於1，則兩個變量完全正相關。也就是說，一個變量會隨着另一個變量的增加而增加（減少而減少）。這種關係是完全線性的——無論變量取值多大或多小，兩個變量之間的關係都一樣。舉個例子，考慮出售檸檬水這一簡單的生意。每杯檸檬水賣3元。如果x代表賣出的檸檬水杯數，y代表收入，則y永遠會隨着x的增加而增加。見下：賣出10杯檸檬水：x = 10, y = ￥30賣出100杯檸檬水：x = 100, y = ￥300賣出一百萬杯檸檬水：x = 1,000,000, y = ￥3,000,000無論x值多大，y永遠等於3(x)。因此，可以說x和y完全正相關，也就是相關係數等於1。
（02）協方差值等於-1意味着完全負相關。另一方面，如果協方差值爲-1，則兩個變量完全負相關。換句話說，一個變量的增加會導致另一個變量減小，反之亦然。跟上文一樣，這個關係也是線性的。兩個變量分離的比率不隨時間變化。舉個例子，假設我們正在管理一個油井，總共能鑽出一萬桶油。x等於已經鑽出的桶數，y等於還在油井裏的桶數，那麼只要x增加，y就減小。換句話說，已經鑽出來的油絕對不可能回到井內。見下：鑽出一桶油： x = 1, y = 9,999已鑽出2000桶油：x = 2,000, y = 8,000。已鑽出10000桶油：x = 10,000, y = 0。只要x增加，y就以相同的速率減少。這個關係是線性的——每鑽出一桶油就意味着地下的油少了一桶。因此我們說x和y完全負相關，也就是說相關係數爲-1。
（03）要知道協方差爲0意味着不相關。如果協方差爲0，說明兩個變量不相關。換句話說，我們不會預測一個變量增加或減少將導致另一個變量的增加或減少。兩個變量間沒有線性關係，但仍然可能存在非線性關係。舉個例子，假設一個人正在接受針對一種病毒性疾病的順勢療法。如果x表示用藥劑量（以茶匙計），y表示病人血管中的病毒載量（以每毫升國際單位（IU/mL）計），我們沒法預測y會隨着x的增加而增加或減少。y的波動與x完全獨立。見下：攝入一茶匙：x = 1, y = 615。攝入10茶匙：x = 10 y = 700。攝入20茶匙：x = 20, y = 455。x增加，無法預測y會增加還是減少。兩者之間的關係不明——有時候攝入藥量多，會使得病毒載量減少，但有時候會使得病毒載量增加。因此，我們可以認爲x和y幾乎不相關。
（04）要知道介於-1和1之間的值意味着不完全相關。大部分協方差值都不會嚴格等於1，-1或0，通常會介於它們之間。根據一個協方差值接近某一個基準值的程度，可以判斷其是正相關還是負相關。例如，協方差值0.8意味着高度正相關，儘管不是完全相關。也就是說，如果x增加，y通常會增加，x減小，y通常會減小，儘管這個關係不是完全穩定的。
特別提示
閱讀關於散點圖的文章和計算相關係數的文章，可以得到相關信息。
協方差方程往往用於對比股票——投資者希望知道某兩隻股票會不會隨着彼此波動。要回答這個問題，你只需要一張對比兩隻股票在一段時間內每日走勢的表，見下：<br/><br/>A公司(x): (1.6 + 1.9 + 2.1 + 3.2 + 0.5 + 0.4 + 0.6)/7 = 1.47<br/>B公司(y): (2.0 + 2.4 + 2.6 + 3.6 + 0.9 + 0.8 + 1.0)/7 = 1.9<br/><br/>(1/n-1)(Σ(x- x)(y- y)<br/><br/>(1/6)(((1.6 - 1.47)+(1.9 - 1.47)+(2.1 - 1.47)+(3.2 - 1.47)+(0.5 - 1.47)+(0.4 - 1.47)+(0.6 - 1.47))((2.0 - 1.78)+(2.4 - 1.78)+(2.6 - 1.78)+(3.6 - 1.78)+(0.9 - 1.78)+(0.8 - 1.78)+(1.0 - 1.78))<br/><br/>(1/6)((0.01)(0.84))<br/><br/>(1/6)(0.084) =0.14。
